Sayı Sistemleri Konu Özeti

Rakam: Sayıları kullanmak için kullanılan {O, 1, 2,3,4,5,6, 7,8,9} sembollerinden her birine "rakam" denir.

Sayma Sayıları: Pozitif tam sayıların oluşturduğu S = {1, 2, 3, 4,...} kümesinin elemanlarına "sayma sayıları" denir.

Doğal Sayılar: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} kümesinin elemanlarına doğal sayı denir.

Tam Sayılar: Z = {...,-2,-1, 0, 1,2, 3,...} kümesinin elemanlarına tam sayı denir.

Negatif Tam Sayılar Kümesi:
Z ={...,-n -3, -2,-1}

Pozitif Tam Sayılar Kümesi:
Z+ = {1,2, 3, 4 n, ...}
Z = Z" u {0} u Z+
Çift Sayılar: {..., -4, -2, 0, 2, 4 2n, ...}
Tek Sayılar: {..., -5, -3, -1, 1, 3 (2n -1), ...}
Örnek: a ve b doğal sayılardır, a . b = 36 olduğuna
göre a + b toplamı en çok kaçtır?
Çözüm: a . b = 36 i i 1 .36 2.18 -» 3.12 -♦ 4.9 -6.6 -»
A) 12 B)13 C)15 D) 20 E) 37
1 + 36 = 37 (en büyük)
2 + 18 = 20
3 + 12 = 15
4 + 9 = 13 6 + 6 = 12
Çarpımları 36, toplamları en büyük olan sayılar 1 ile 36'dır. 1 ile 36'nın toplamı 37'dir.
Doğru cevap (E) şıkkıdır.
Örnek: a, b, c, e N, a . b = 19 , b . c = 5 ise a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm: a . b = 19 19 . 1 = 19
ise a =19, b = 1, c = 5 olduğundan a + b + c=19 + 1+5 = 25 bulunur.

Örnek: a , b e N , a2 - b2 = 23 ise a = ?

Çözüm: a2 - b2 = 23 (iki kare farkından)
(a - b). (a + b) = 1 . 23
t f t f

a-JT - 1
+ a+# = +23
2a = 24 a = 12 bulunur.

Örnek: Rakamları farklı üç basamaklı birbirinden farklı beş sayının toplamı 657 olduğuna göre bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır? A) 253 B)243 C) 241 D) 240 E) 252

Çözüm: 102 + 103 + 104 + 105 + x = 657
414 +x = 657
x = 243 bulunur. Doğru cevap (B) şıkkıdır.

Örnek: İki basamaklı beş sayının toplamı 412 olduğuna göre bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır? A. 14 B)15 C)16 D) 17 E) 18

Çözüm: 99 + 99 + 99 + 99 + x = 412
x = 412-396 x = 16 bulunur. Doğru cevap (C) şıkkıdır.
(Bu soruda rakamların farklı olması koşulu yoktur. Bu sayılardan en küçüğünü bulmak için diğer dört sayının en büyük değerlerini alması gerekir.)

Örnek: Bir kişi, bir "a" sayısını 14 ile çarpmış ve sonucu 2524 bulmuştur. İşlemi kontrol ettiğinde "a" sayısının 3 olan onlar basamağını 8 olarak gördüğünü fark etmiştir. Buna göre doğru sonuç kaçtır?

Çözüm: 3 olan onlar basamağı 8 alındığında çarpım 5 . 10 = 50 kat fazla bulunmuştur. Yapılan hata, 14 . 50 = 700'dür. O hâlde doğru sonuç: 2524-700 = 1824 olmalıdır.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FAKTÖRİYEL NE DEMEKTİR?

faktöriyel: ( ! ) sembolü ile gösterilir.örneğin n! demek 1'den n'e kadar olan sayılarının yanyana yazılıp çarpımı demektir. 5! demek 1'den 5'e kadar sayıların yanyana yazılıp çarpılmasıdır
n!=1.2.3.4.5.........n
0!=1
1!=1
2!=1.2=2
3!=1.2.3=6
4!=1.2.3.4=24
5!=1.2.3.4.5=120
10!=7!.8.9.10
6!=4!.5.6
örnek:
5!/3!=1.2.3.4.5/1.2.3=120/6=20
n!/(n-1)!=(n-1)!.n/(n-1)!=n

FAKTÖRİYELLER

1. x ve n sayma sayıları olmak üzere, 21! = 2n.x ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20

2. n bir doğal sayı olmak üzere, 67! / 15n işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n nin en büyük değeri kaç olmalıdır?

a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19

3. m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m>n olmak üzere, m!/n! + 4 = 94 ise, n kaçtır ?

a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11

4. 2! + 3! + 4! + … + 1472! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

5. 6! + 7! + 8! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez ?

a) 3
b) 5
c) 15
d) 25
e) 45

6. 18! sayısı, 16! sayısının kaç katıdır?

a) 16
b) 18
c) 34
d) 306
e) 645

7. f(a)=(a+2)! ise, f(3) - f(2) = ?

a) 1
b) 4
c) 5
d) 16
e) 96

8. 120! - 83! - 1 sayısının sonunda kaç tane dokuz vardır?

a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22

9. n.(n+1)! = 72 ise, n kaçtır?

a) 3
b) 6
c) 8
d) 9
e) 36

YANITLAR : 1-C 2-A 3-B 4-B 5-D 6-D 7-E 8-B 9-A

ASAL SAYILAR

Asal sayilar, 1 ve kendisinden baska pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayilardir. En küçük asal sayi, 2' dir. 2 asal sayisi disinda çift asal sayi yoktur. Yani, 2 sayisi disindaki tüm asal sayilar tek sayidir. Asal sayilar kümesi,

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... }dir.

Fermat Teoremi' ne göre, n asal sayi olmak üzere, 2n - 1 seklinde yazilabilen sayilar asal sayidir. Örnegin,

22 - 1, 23 - 1, 25 - 1, 27 - 1, 211 - 1, ...sayilari, asal sayidir.

Aralarinda asal sayilar:

1' den baska pozitif ortak böleni olmayan sayilara, aralarinda asal sayilar adi verilir. Birden fazla sayinin aralarinda asal olmasi için, bu sayilarin asal sayi olmasi gerekmez. Asal sayilar, kesinlikle aralarinda asal sayilardir. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, aralarinda asal sayilardir. Diger taraftan, 10 ile 8 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, 2 ortak bölenleri oldugu için, aralarinda asal sayilar degildir. Bir sayi aralarinda asal iki sayiya bölünebiliyorsa, bu iki sayinin çarpimina da bölünür.

Örnegin,

· 2, 9

· 10, 81

· 5, 29

· 3, 8

· 2, 10, 35

sayi gruplari, ortak tam bölenleri olmadigi için aralarinda asal sayilardir.

Asal olmayan sayilara da bilesik sayi adi verilir. Dolayisiyla, bilesik sayilarin 1 ve kendisinden baska bölenleri vardir. Örnegin, 10 sayisi bir bilesik sayidir. Çünkü, 10 sayisinin 1 ve kendisinden baska, 2 ile 5 böleni vardir. Buradan, asal olmayan 10 sayisi, birer asal sayi olan 2 sayisi ile 5 sayisinin çarpimi olarak yazilabilir. 2 ile 5 sayisina, 10 sayisinin asal çarpani veya böleni denir. Yani, bilesik bir sayi, asal sayilarin çarpimi seklinde yazilabilir.

Örnek 1:

Asagidaki sayi gruplarindan hangisi aralarinda asaldir?

a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25

Çözüm:

a) 4 ile 20' nin ortak böleni vardir ve bu da 2 ile 4' tür.

b) 6 ile 21' in ortak böleni vardir ve bu da 3' tür.

c) 27, 36 ve 39' un ortak böleni vardir ve ortak bölen 3' tür.

d) 8, 24 ve 36' nin ortak böleni vardir ve ortak bölen 2 ve 4' tür.

e) 3, 5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayiyi birden bölen 1' den baska sayi yoktur. Dolayisiyla, bu sayilar aralarinda asaldir.

Örnek 2:

2m + 3 ile 7n - 5 sayilari aralarinda asal olduguna göre,

ise, m ve n kaçtir?Çözüm:

2m + 3 ile 7n - 5 aralarinda asal olduklarina göre,

2m + 3 = 5 2m = 5 - 3 2m = 2 m = 17n - 5 = 9 7n = 9 + 5 7n = 14 n = 2bulunur.

Örnek 3:

a, b ve c birbirinden farkli rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamakli aralarinda asal sayilardir. Buna göre, ab + bc toplaminin en küçük degeri kaçtir?

Çözüm:

Toplamin en küçük olmasi için, sayilari en küçük almaliyiz. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalidir. Dolayisiyla,

ab + bc = 21 + 13 = 34

olur.

Örnek 4:

2x + y ile 4 x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre,

ise, 3x + 2y toplami kaçtir

Çözüm:

2x + y ile 4x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre, her ikisinin de ortak böleni olmamasi gerektiginden, esitligin sag tarafi ortak bölenden arindirilmalidir. Dolayisiyla,

olur ve buradan,

2x + y = 7 ... (1)

4x + y = 9 ... (2)

yazilir. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun için, (1) nolu denklemi - 1 ile çarpalim ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalim.

- 1 / 2x + y = 7

4x + y = 9

- 2x - y = - 7

4x + y = 9

Son iki denklemin toplami

2x = 2

x = 1

bulunur ve x = 1 degerini (1) nolu denklemde yerine koyalim

2.1 + y = 7

y = 7 - 2

y = 5

bulunur. Buradan

3x + 2y = 3.1 + 2.5 = 3 +10 = 13

olur.

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Her bilesik sayi, asal sayilarin veya asal sayilarin kuvvetlerinin çarpimi seklinde yazilabilir. Bu islemi yapmak için, ilgili sayinin sirasiyla en küçük asal sayidan baslanarak bölünebilmesi arastirilir.

Örnek 1:

124 sayisini asal çarpanlarina ayiralim.

Çözüm:

124= 31.2.2

Örnek 2:

500 sayisini asal çarpanlarina ayiralim.

Çözüm:

500=2.2.5.5.5

Rasyonel Sayılar ( , rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının [[ortak Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü $-3=\frac{-3}{1}$ veya $0=\frac{0}{1}$ veya $43=\frac{43}{1}$ şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ , tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}$ 'yi kapsar. Yani $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ .

Tanım Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya $\mathbb{Q}$ ile gösterilir. $\mathbb{Q}$ kümesi genelde şöyle tanımlanır:

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır. $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı

$(a,b) \sim (c,d) \Leftrightarrow ad=bc, \quad b,d \not= 0$

olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları

$\overline{(a,b)} = \{(a,b) | (a,b) \sim (c,d) \}$

olurlar. Oranlı sayı ise basitçe

$\frac{a}{b} = \overline{(a,b)}$

şeklinde tanımlanır.

Tanımda paydanın sıfır olmama şartı $\frac{a}{0}$ ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gerçel sayılar (veya Reel sayılar), Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.

Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela

veya

eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sayı Ekseni
Sayı ekseninde her noktaya bir reel sayı karşılık gelir. 0'a orijin (başlangıç noktası) denir. Sayı doğrusunda O'ın solunda negatif sayılar, sağında ise pozitif sayılar vardır.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ARDIŞIK SAYILAR
Belli bir kurala göre bir birini takip eden sayı gruplarına ardışık sayılar denir.
Ardışık doğal sayılar; 0, 1, 2, 3, 4, 5, …....
Ardışık tek sayılar; 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …......
Ardışık çift sayılar; 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …......
4 ün katı olan ardışık doğal sayılar; 0, 4, 8, 12, 16, …..... şeklinde devam eder.

n bir tam sayı olmak üzere,

1- Ardışık dört tam sayı sırasıyla;
n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

2-Ardışık dört çift sayı sırasıyla;
2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

3-Ardışık dört tek sayı sırasıyla;
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

4-Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;
3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.

UYARI : İki ardışık sayının toplamı daima tektir. Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir.

Biraz örnek çözelim:

SORU : İki ardışık sayının toplamı 97 ise bu sayılar kaçtır?

Cevap : n + n + 1 97

Yukarıda iki ardışık sayı n ve n +1 ile gösterilmiştir. İlk iş olarak fazlalık olan 1 i toplamdan yani 97 den çıkarıyoruz.

97 – 1 = 96

Artık fazlalık kalmadığına göre; ve iki ardışık sayımız olduğuna göre, kalan sayıyı ikiye bölerek küçük sayıyı bulabiliriz.

96 : 2 = 48 Küçük sayı

Büyük sayıyı bulmak için ise;

48 + 1 = 49

SORU : İki ardışık çift sayının toplamı 178 ise bu sayılar kaçtır?

Cevap : n

+ n + 2

178

Ardışık çift sayıların ikişer ikişer artıyor olması sebebiyle, bu defa ikinci sayımızdaki 2 fazlalığını toplamdan çıkarıyoruz.

178 – 2 = 176

Artık fazlalık kalmadı. iki sayımız olduğu için sonucu ikiye bölerek küçük sayımızı bulabiliriz.

176 : 2 = 88 Küçük sayı

Büyük sayı, küçük sayıdan 2 fazla olduğuna göre; 2 ekleyerek büyük sayıyı bulabiliriz.

88 + 2 = 90 Büyük sayı

NOT : Bir çok öğrencimizin düştüğü tuzak; verilen sayıyı hemen sayı adedine bölmeleridir. Unutmayalım ki; ardışık sayılar belirli oranlarda artarak gider. Sizlerin öncelikle bu artışı toplamdan çıkarmanız gerekir. Daha sonra kaç sayı varsa, ona göre bölme işlemini yaparak küçük sayımızı bulabiliriz. Bu bölme işlemi sonrası çıkan sonuş bütün işlemlerde küçük sayıdır. Büyük sayıyı bulmak için ise tekrar ekleme yapmanız grekmektedir.

Yukarıda da değinildiği üzere bu artış; ardışık sayılarda 1, ardışık çift ve ardışık tek sayılarda 2'dir.

Ardışık çift ve ardışık tek sayılarla ilgili problemler aynı şekilde çözülür. çift ve tek oluşları kafanızı karıştırmasın. Çünkü her ikisi de 2'şer 2'şer artmaktadır. Bir tane de tek sayılarla ilgili çözerek görelim.

SORU : Ardışık iki tek sayının toplamı 108'dir. Buna göre küçük ve büyük sayıları bulalım.

Cevap : n

+ n + 2

108

Yine öncelikli hedefimiz fazlalığı çıkarmak,

108 - 2 = 106

Daha sonra iki sayı olduğu için sonucu ikiye bölerek küçük sayıyı bulmak,

106 / 2 = 53 Küçük sayı

Büyük sayı için ise 2'yi tekrar eklememiz yeterli,

53 + 2 = 55 Büyük sayı

ISINMA TURLARI SONA ERDİ, SORULARIMIZI BİRAZ DAHA ZORLAŞTIRALIM... :)

SORU: Ardışık üç sayının toplamı 246'dır. Buna göre küçük, orta ve büyük sayıları bulunuz.

Cevap: n

n + 1

+ n + 2

246

bu defaki fazlalıklarımız 1 ve 2 ------ yani 1 + 2 = 3

Bu fazlalığı toplamdan çıkaralım

246 - 3 = 243

Bu defa iki değil, üç sayımız var. O halde sonucuda 3'e bölmemiz gerekiyor.

243 / 3 = 81 Küçük sayı

Ortanca sayı küçük sayıdan 1 fazla olduğuna göre;

81 + 1 = 82 ortanca sayı

Büyük sayı küçük sayıdan 2 fazla olduğuna göre;

81 + 2 = 83 Büyük sayıdır

SORU: Ardışık üç çift sayının toplamı 222'dir. Buna göre; küçük, ortanca ve büyük sayıları bulunuz.

Çözüm: Çift sayılar 2'şer 2'şer artmaktaydı. O halde;

n

n + 2

+ n + 4

222

Fazlalıklarımız 2 ve 4 ----- Yani 2 + 4 = 6

Bu fazlalığı çıkaralım 222 - 6 = 216

Üç sayımız olduğu için yine 3'e bölelim ve küçük sayımızı bulalım.

216 / 3 = 72 Küçük sayı

72 + 2 = 74 Ortanca sayı

72 + 4 = 76 Büyük sayı

SORU: Ardışık dört sayının toplamı 418' dir. Buna göre bu sayıları bulunuz.

Cevap: 1.sayı n

2.sayı n + 1

3.sayı n + 2

4.sayı + n + 3

418

Dört sayımızda yukarıda belirtilmiştir. fazlalıklara baktığımızda; 1, 2 ve 3' ü görüyoruz. yani 1 + 2 + 3 = 6

Fazlalığımızı çıkarıyoruz, 418 - 6 = 412

Dört sayımız olduğu için sonucu 4'e bölerek küçük sayımızı yani 1.sayımızı buluyoruz.

412 / 4 = 103 (1.sayı)

103 + 1 = 104 (2.sayı)

103 + 2 = 105 (3.sayı)

103 + 3 = 106 (4.sayı)

Ardışık Sayılarda Terim Sayısı

Son Terim - İlk Terim
Terim Sayısı =--------------------------------------- + 1 dır.
Ortak Fark

Örnek: 13 + 17 + 21 + 25 + ... + 53 toplamı kaçtır?

Çözüm: Her ardışık terim arasındaki fark 4'tür. 17-13 = 4, 21-17 = 4, 25 - 21 = 4 gibi

Mustafa Kemal Paşa Mah. İstiklal Cad. No:48/1 İstanbul/AVCILAR
0 212 428 23 21 - 0212 428 23 39